Численное решение методом Гаусса систем операторных уравнений, полученных прямым преобразованием Лапласа.

О новизне

Я все время задавался вопросом.
Что такое постоянная времени процесса?
Как стереть границу между стационарным и переходным процессом при численном расчете. То есть соединение непрерывных медленных и быстрых переходных процессов. Это подразумевает, что одни процессы могут сразу достичь установившегося значения, а другие еще будут отрабатывать полученное возмущение.
Особенно с точки зрения теории автоматического управления (ТАУ).-устойчивости с точки зрения критерия Рауса-Гурвица.
Механические, тепловые, электрические и другие системы, выполняющие требования систем уравнений Лагранжа, соответствуют этому критерию Рауса-Гурвица.

Теперь о новизне научного открытия.

1. Математическая формулировка задачи.

Численное решение методом Гаусса  систем операторных уравнений  и отвечающих требованиям существования матриц Гурвицевого типа, с использованием специальной методики расчета на ЭВМ.

Система операторных уравнений получается применением прямого преобразования Лапласа к любой исходной системе.

Под любой исходной системой уравнений подразумевается:

-система обыкновенных дифференциальных уравнений, как классической формы, так и интегро-дифференциальных. Например, тепловые задачи и электромеханические задачи.

-системы уравнений математической физики. Например, тепловые задачи, механические задачи.

-сеточные задачи (явная схема становится устойчивой и не требует анализа собственных значений матрицы).

– и другие.

Применение метода Гаусса обусловлено тем, что в вычислительной математике его относят к аналитическим методам вычислений. Хотя этот вопрос становится таким же спорным, как и сам факт расчета по аналитическим формулам, так как связан с основанием арифметических расчетов на ПЭВМ.

Во всех учебниках и справочниках по математике описывается применение преобразования Лапласа к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Но порядок уравнений, как правило, не больше трех, а если четыре, то неизвестно как точно определить корни уравнения. А если, порядок больше четырех, то надо использовать вычеты, находить полюса и так далее.

При решении с помощью вычетов и других известных науке способов создать компьютерную программу (универсальный пакет) и сделать его устойчивым невозможно. Справка: Аналитически находятся корни для вычетов не выше четвертой степени, а выше алгоритмы не устойчивы.

В литературе по вычислительной математике и научных статьях решение задачи Коши предусматривает применение методов Рунге-Кутта и других аналогичных ему численных расчетов.

Методы Эйлера, Рунге-Кутта, Кутта-Мерсона и другие относятся к классу “однонаправленных приближенных методов”. Теперь я их называю только так.

Все они предполагают шаг по времени (или по другому независимому параметру) зависимым от значения меньшего, чем минимальное собственное значение матрицы. Если мы занимаемся расчетом c применением  преобразования Лапласа, то мы не зависим от шага по времени. Появляется новый класс “разнонаправленных методов или аналогово-цифровых методов (аналитически-численных)”. Время стало таким же входным параметром.

На мой взгляд, лучшие книги по операционному исчислению следующие:

1. Гарднер М.Ф. и Бернс Дж.Л., Переходные процессы  в линейных системах. Физматгиз, 1961г.

2. Карслоу Х.и Егер Д.ю, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ 1948

3. Лурье А.И.., Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. Гостехиздат, 1960

4. Н.И.Кожевников, Т.И.Краснощекова, Н.Е.Шишкин. Ряды и интеграл Фурье Теория поля Аналитические и специальные функции Преобразование Лапласа Изд Наука 1964г.

Или взять хотя бы взять цитату из книги “Д.Уайт и Т.Вудсон. Электромеханическое преобразование энергии. М.1964г.”:

-” При решении линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами важно помнить то, что общее решение, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению и содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, является “наиболее общим” решением. В результате решение для любой системы начальных условий может быть получено нахождением этих произвольных постоянных.

Для решения совместных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами замечание, сделанное выше относительно единственности, также сохраняет силу, но общее число независимых постоянных в решении может быть меньше, чем сумма порядков отдельных уравнений. Тем не менее всегда справедливо, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее и уравнениям и начальным условиям, является точным решением”.

В результате решение для любой системы начальных условий может быть получено путем нахождения этих произвольных постоянных.

Из известных методов имеется четыре известных метода исследования линейных интегро-дифференциальных уравнений:

– классический метод,

– операторный метод Коши-Хевисайда,

– метод, использующий преобразование Фурье,

– метод, основанный на преобразовании Лапласа.”

Все считают, что только преобразование Лапласа является наиболее общим и из него можно вывести два других метода.

P.S. Я тоже так считаю.

Если матрица не Гурвицевого типа, то имеет ли практический смысл её рассматривать с физической точки зрения. Это противоречит смыслу самой теоремы о преобразовании Лапласа. Для положительных коэффициентов теоретически нет ни одного числа “p”, которое ограничивало бы функцию оригинала.  Точнее, интеграл Лапласа не имеет конечного значения.          Изображения существуют только до некоторого значения времени, что и подтверждалось расчетами.

Краткие замечания.

В этом случае, проблема собственных значений для системы операторных уравнений становится актуальной только в том случае, если хотя бы одно из них становится положительным действительным или вещественным положительным (мнимая часть не влияет на расчет).

К системе операторных уравнений применимы все операции из теории матриц.

Для электротехнических цепей для записи системы операторных уравнений используется метод узловых потенциалов.

Теряет смысл делить процесс на переходный и стационарный.

И соответственно, можете сделать расчет для динамической системы сразу в интересующем Вас конечном входном параметре.

И это наиболее важное для понимания.

Например, для теплового расчета- на 15 секунде.

Небольшое отвлечение.

А все начиналось с вопроса.

Что такое постоянная времени для транспортных энергетических установок.

Имеется в виду, к примеру, постоянная времени нагрева составных частей установки, в том числе и охлаждающей среды.

Все известные мне методы основаны на пошаговом расчете, где шаг расчета зависит от устойчивости системы.

Возьмем методы Рунге-Кутта, Эйлера и другие.

Интернет развивается быстро и теперь возможно создание такого промышленного образца общения в Интернете. Для того, чтобы это применение имело всеобщий смысл существования (в философском смысле – имело востребовательность в существовании) необходимо сделать параметр «время» – входным параметром расчета, независимым как в любом аналитическом расчете.

Это нам дает только такое преобразование, как преобразование Лапласа. На сегодняшний день, для меня это не последний аргумент в пользу применения и других аналитических методов решения данного вопроса.

В литературе и Интернете нет нигде ссылок на то, как решать систему линейных дифференциальных уравнений, соответствующую критерию Рауса-Гурвица, если порядок числа уравнений больше трех. Решать и находить корни аналитически возможно только для уравнения, если уравнения не более третьего порядка. Программы на основании вычетов есть.

А теперь представьте себе следующее.

Студент или инженер получил задачу решить, как реагирует система на возмущающее воздействие внешней силы (механика, тепло или другие факторы) и решает задачу известными методами.

В случае, если Вас интересует вопрос оптимального подбора параметров для заданного значения времени, решается сложная задача линейной оптимизации обычными методами.

В моем случае, получаем матрицу в изображениях по Лапласу, задаем значение времени (например, для   t=102сек), и получаем решение методом Гаусса, который считается аналитическим, с перебором входных параметров по конструкции. При большом порядке системы можно решать итерационным методом.

В дальнейшем, варьируя параметрами, описывающими процесс, для заданного значения времени, находим соответствующие значения выходных величин.

В общем, для тех, кто помнит аналоговые машины, это все понятно.

Вы все время работаете в аналоговом режиме.

Этот метод позволяет по-новому построить нейронные сети.

Чипы, изготовленные на основе этого алгоритма, могут контролировать процессы в технических устройствах. Процесс расчета и корректировка параметров с любым наперед заданным упреждением по времени.

Для аналоговых систем необходимо было проводить масштабирование процессов. В этом случае нет масштабирования и нет понятия стационарный режим, расчет ведется даже в случае, когда расчетные значения вышли на ” расчетный режим “.

В настоящее время математиками высказывается правильное мнение, что нет чисто аналитических методов расчета на компьютере. Есть некоторое приближение к ним. Возьмем книгу Б.А.Попова, Г.С.Теслера «Вычисление функций на ЭВМ» и на примере «простой» функции sin(х) можно проследить, как изменялся алгоритм вычисления этой простой функции от одной машины к другой, и в зависимости от языка.

Я придерживаюсь следующей точки зрения:

– программа должна иметь унифицированные блоки данных для решения задач

– иметь интерфейс со всеми возможными языками программирования

– должна быть предусмотрена возможность добавления, расширения и трансформации программных компонентов с учетом появления дополнительных требований к продукту

– быть простой и доступной для всех пользователей.

В этом случае, один и тот же алгоритм позволяет решать следующие вопросы:

– решение сеточных моделей с явной схемой замещения

– решается вопрос об устойчивости решения для обычных прикладных методов решения (не зависит от минимальных собственных значений матрицы в случае жесткости)

– при этом делается перебор значениями коэффициентов матрицы при фиксированном значении пространственного или временного параметра

– неявные методы требуют в этом случае решения в матричном виде

– сразу предполагает независимость решения от минимальных значений матрицы и позволяет делать перебор независимых параметров и их влияние на результат решения). (Неявный метод требует в этом случае решение в матричном виде)

– решение задач в частных производных (метод прямых и другие)

– решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы, подчиняющиеся уравнениям механики ( решение системы уравнений устойчиво по критерию Рауса-Гурвица (процесс устойчив, если собственные значения матрицы, описывающей процесс принимают отрицательные действительные значения или отрицательные действительные части комплексных значений), так называемая гурвицева матрица).

– решение совместных дифференциальных уравнений и уравнений, связывающих параметры, что характерно для уравнений описывающих электрические системы и другие

Следовательно, мы уже можем в этой временной точке проводить оптимизацию, экспресс-анализ прогнозирования процесса с переходом от одного состояния к другому и другие вопросы, чего нельзя было сделать в классе однонаправленных методов.

В целом, речь идет о новом направлении в прикладной математике, которая должна объединить различные подходы к решению задач. В этом и состоит рациональное зерно решения.

Преобразование Лапласа дает сразу решение задачи в нужной нам точке по времени. Мы получаем решение в изображении и к нему применяем численный метод       ( метод Гаусса или любой другой с использованием новой технологии.) Что и было в свое время реализовано в аналоговых системах для систем уравнений не более трех.

С матрицами в этом случае производим все известные нам действия. Я попытался все перевести и сделать это программным путем на Фортране и графически изобразить с помощью Графора. Эта технология не имеет равных в мировой системе научных пакетов.

Язык программирования Фортран позволяет не переделывать ядро научной информации каждый раз заново. Хороший развитый интерфейс с другими языками позволяет поддерживать развитие новых идей. Легкость восприятия языка программирования, развитая блочность подпрограмм позволяет без особых затруднений трансформировать ядро пакета. Этот язык за всю свою историю развития интегрировал в себя все лучшее в мире средств моделирования. Он представляет собой прекрасное инструментальное средство моделирования. Но для него нужно хорошее средство визуализации моделирования. Это на мой взгляд.

СПРАВКА.

Как это делается по научной литературе:

Для этого метода характерны следующие этапы:

1. для всех дифференциальных уравнений находят изображения с учетом начальных условий;
2. полученные алгебраические уравнения решают относительно изображения неизвестной функции;
3. в полученный результат подставляют изображения всех данных функций (функций воздействия);
4. ищут неизвестную временную функцию путем получения обратного преобразования; обычно вначале разлагают изображение неизвестной функции на простейшие дроби, а затем ищут временную функцию в виде суммы экспонент.

Для разработки прикладной (упрощенной системы) имеется следующий основной принцип:

– принцип наложения, который утверждает, что переходный процесс в линейной системе, на которую действует входной сигнал, состоящий из суммы составляющих, равен сумме переходных процессов системы от каждой составляющей входного сигнала

– переходной процесс в линейной системе не зависит от выбора начала отсчета времени для входной и выходной переменных.

Система, описаная линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, амплитудно-фазовая характеристика которой может быть легко вычислена, содержит все сведения, необходимые для описания системы при любых динамических режимах. Изучение этого вопроса с применением нового метода дает практический метод нахождения и контроля параметров системы.

При представлении изображения решения при периодическом процессе возникает вопрос представления изменения параметра, который должен соответствовать его физическому смыслу изменения параметра.

Думается, что аналогичных подходов нет.

Обратное преобразование Фурье работает в очень узком диапазоне. Это, как известно, переход из области амплитуд в область частот, и обратно.

Материалы нигде не опубликованы, так как считаю их “ноу-хау”.

Есть фирмы, например Wolfram Research –известна своим математическим пакетом. Они пытаются что-то делать для Интернета.

Но нет самого главного- научной сети в интернете.

По операционным методам у англичан был открыт сайт- энциклопедия по вопросам преобразования Лапласа.  Со временем стала недоступна. Свои трудности.

Я прошел путь от простого программиста на Алголе, в последствии только на Фортране. И остаюсь приверженцем этого языка, незаконно забытого на Украине.

В настоящее время, я об этом не думаю, так как доказывать теоретически устойчивость решения для операционных методов можно годами, как доказывалось теоретически прямое и обратное преобразование Лапласа. У меня это доказательство называется методом компьютерного исследования. Можно так сказать – доказательство права на существование этого метода, который позволяет открыть новое направление в компьютерных расчетах, как для Интернета, так и для обучения и исследования.

Я заинтересован в том, чтобы отказаться от предопределенных (численных) методов, которые давались при обучении, и стать, более практичным на пути исследования тех явлений, которые можно будет решить, используя аналитические методы.

Я уверен в том, что мое направление правильно было выбрано, и в настоящий момент будет востребовано.

Теперь я понимаю то, что в предыдущие годы это не воспринялось бы. специалистами. Потому что, компьютерная отрасль динамично развивается.

Метод должен быть универсальным для систем с частными производными, систем с обычными производными, с интегралами, со смешанными условиями и т.д.

По преобразованию Лапласа в библиотеках есть прекрасные книги и задачники с решениями, с которыми, можно сравнить решение. Главное условие, при графическом представлении решения, графики решений по книгам и моим методом должны совпадать. Более того, специалисты, которые работали с аналоговыми персоналками сразу оценили бы достоинства метода, так как при этом, можно зафиксировать время, и менять параметры расчета.  И начинают работу с матрицами, для которых действительны все теоремы по теории матриц для линейного пространства.

Ядро сделано на языке Фортран.

Язык Фортран в мире динамично развивается, согласно, тех стандартов, которые принимаются в США органом, следящим за развитием компьютерных систем, в том числе и языков.

Теперь к вопросу апробации моего открытия.

Для некоторых задач просто и доступно было доказано, что представленные решения в аналитическом виде в книгах имеют   досадные ошибки.

Можно ли привести пример?

Есть такая книга как «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов» —   Н.И.Кожевников, Т.И.Краснощекова, Н.Е.Шишкин.  Ряды и интеграл Фурье.  Теория поля Аналитические и специальные функции Преобразование Лапласа Изд Наука 1964г.     стр 132. Задача № 443.  Ответ на эту задачу на стр 174.)

Я благодарен тому, кто выводил решение этой задачи, связанной с полетом частицы.  Я и на этой задаче проверял свой простой метод. И нашел, что ответ ошибочный в приведенном решении.

Аналогичные задачи, приводятся позднее в других задачниках, но в более простой постановке.

Я цену этот труд, так как на бумаге, такое решение будешь долго выводить, и такая ошибка неизбежна.

Для первого раза я думаю, что достаточно информации.

Если захотите проверить выше сказанное, то напишите на адрес goncha@ukr.net .

Можете написать какой-то числовой пример в виде матрицы, решение которого я не знаю, а Вы результат знаете.

Я Вам отвечу на это письмо.

P.S.  Не могуне согласиться с ниже представленной статьей академика В. А. Винокурова.

Смотри ссылку на странице http://vinokur.narod.ru/computable.htm,

(Процитируем из статьи   « Вычислимое и невычислимое в вычислительной математике»

В. А. ВИНОКУРОВ.

Появление интереса к применению численных методов в математике было связано с возникновением дифференциального и интегрального исчисления и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На языке последних еще в физике XVIII века удалось точно выразить законы классической механики и решить многообразные конкретные задачи, связанные с механическим движением и взаимодействием тел. При этом принципиальное значение имело то обстоятельство, что все задачи динамики, выраженные на языке обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом необходимых начальных условий (положения и скорости движущихся тел) и значений параметров (массы и силы взаимодействия), оказались имеющими единственное решение.

В XIX веке прежде всего в связи с описанием движения сплошных сред (гидро-и аэродинамика, теория упругости, электромагнитная теория Максвелла) стал интенсивно применяться более сложный математический аппарат, а именно дифференциальные уравнения в частных производных. Эти уравнения (хотя они и отличались от обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что исходные данные, необходимые для их решения, включали дополнительные, так называемые граничные, условия) считались аналогичными обыкновенным дифференциальным уравнениям в смысле непрерывной зависимости решения от исходных данных. Однако в 1923 году известный французский математик Ж. Адамар в монографии, посвященной проблемам математической физики, рассмотрел задачу, формулируемую с помощью одного из видов уравнений в частных производных (краевая задача для гравитационного потенциала), обладавшую следующей особенностью: сколь угодно малые вариации граничных условий приводили к сколь угодно большим изменениям решения. Позднее, в 1932 году, Ж. Адамар специально указал на отличие задач такого типа от так называемых “корректно поставленных” задач для уравнений в частных производных с дополнительными условиями на границе, то есть задач, которые характеризуются не только наличием решения (в определенном математическом множестве) и его единственностью, но и непрерывной зависимостью решения от исходных данных.

Принимая во внимание тот факт, что в конкретных приложениях исходная информация всегда дана с некоторой погрешностью, Ж. Адамар сделал вывод, что лишь математически корректно поставленные задачи могут иметь физическую интерпретацию.)

 

 

С уважением Гончаренко А.А.